Кёйт учился играть в футбол на пляжах родной деревни, а в возрасте пяти лет "дебютировал" в составе клуба "Куик Бойз", предпочтя его местному "ВВ Катвийк", который тренировался по соседству с его домом.

Когда Дирку исполнилось двенадцать, то он был поставлен перед выбором, кем быть: футболистом или рыбаком. Он предпочёл сконцентрироваться на футболе, поскольку работа в море заставила бы его пропускать тренировочные занятия в середине недели. Вскоре Кайт стал заметной фигурой в футбольных кругах, и не только благодаря своей яркой копне светлых волос.

В марте 1998 года, после семи лет в составе молодёжной команды Катвийка, Кайт появился в основном составе Куик Бойз, которые выступали на высшем любительском уровне Нидерландов. Он отыграл в шести последних матчах сезона и забил в них три мяча.

Его успешная игра за любительскую команду привлекла внимание профессионального клуба из Эредивизиона, и летом 1998 Кайт подписал контракт с "Утрехтом". В начале своей карьеры Кайт в основном был известен как старательный и трудолюбивый игрок, но уже тогда было очевидно, что у его таланта есть и другие грани. Его техника прогрессировала, и вскоре он превратился в одного из самых подготовленных футболистов в истории голландского футбола.

Именно прекрасная физическая форма позволила Кайту добиться потрясающего показателя: за семь сезонов в чемпионате Голландии он пропустил лишь 5 из 238 матчей, в которых были задействованы его клубы. В составе "Утрехта" Кайт пережил пиковое на настоящий момент достижение своей карьеры, когда в своём последнем матче за этот клуб, он забил один из голов в победном для "Утрехта" финале Кубка Нидерландов 2003, когда был повержен "Фейеноорд" со счётом 4:1. Именно в "Фейеноорд" Кайт и перешёл летом того же года.

В роттердамском клубе он достаточно быстро стал самой важной фигурой в составе, прогрессируя и как командный игрок, и как потрясающий бомбардир. За три сезона в "Фейеноорде" он забил 20, 29 и 22 гола, соответственно. В этот же период он стал игроком сборной Нидерландов, дебютировав в её составе 3 сентября 2004 года в игре против Лихтенштейна.

Кайт стал лучшим бомбардиром голландского чемпионата 2005 года с 29 мячами, но это, к сожалению, оказалось его наивысшим достижением в составе "Фейеноорда", который не поднялся выше 3-го места в Эредивизионе за время пребывания Кайта в клубе. Амбициозный футболист был готов к переходу на более высокий уровень, в команду, стремящуюся к завоеванию самых главных футбольных трофеев. Именно таким клубом стал "Ливерпуль".